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《概率论与数理统计》期末复习知识点总结

目录

[TOC]

1 随机事件及其概率

名称 公式
加法 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
乘法 P(A∩B)=P(A)P(B∣A)=P(B)P(A∣B)P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
全概率 P(A)=∑iP(Bi)P(A∣Bi)P(A) = \sum_i P(B_i)P(A|B_i)
贝叶斯 P(Bk∣A)=P(Bk)P(A∣Bk)∑iP(Bi)P(A∣Bi)P(B_k|A) = \dfrac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_i P(B_i)P(A|B_i)}

古典概型例题
将甲、乙、丙三人随机分配到 3 间房，求“每房恰 1 人”的概率。
样本点总数：33=273^3 = 27，有利事件数：3!=63! = 6，

P=627=29 P = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}

2 随机变量及其分布

2.1 常用分布一览

类型 记号 参数 PMF/PDF 期望 方差
0–1 Bern(p)\text{Bern}(p) 0<p<10<p<1 px(1−p)1−x, x∈{0,1}p^x(1-p)^{1-x},\, x\in\{0,1\} pp p(1−p)p(1-p)
二项 Bin(n,p)\text{Bin}(n,p) n≥1, 0<p<1n\ge 1,\, 0<p<1 (nx)px(1−p)n−x\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} npnp np(1−p)np(1-p)
泊松 Pois(λ)\text{Pois}(\lambda) λ>0\lambda>0 e−λλxx!\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} λ\lambda λ\lambda
几何 Geom(p)\text{Geom}(p) 0<p<10<p<1 p(1−p)x−1, x=1,2,…p(1-p)^{x-1},\, x=1,2,\dots 1p\dfrac{1}{p} 1−pp2\dfrac{1-p}{p^2}
均匀 U(a,b)U(a,b) a<ba<b 1b−a, a<x<b\dfrac{1}{b-a},\, a<x<b a+b2\dfrac{a+b}{2} (b−a)212\dfrac{(b-a)^2}{12}
指数 Exp(λ)\text{Exp}(\lambda) λ>0\lambda>0 λe−λx, x>0\lambda e^{-\lambda x},\, x>0 1λ\dfrac{1}{\lambda} 1λ2\dfrac{1}{\lambda^2}
正态 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) μ∈R, σ>0\mu\in\mathbb R,\, \sigma>0 12πσexp⁡[−(x−μ)22σ2]\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp[-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}] μ\mu σ2\sigma^2
分布 记号 独立条件 E[aX+bY+c]E[aX+bY+c] D(aX+bY+c)D(aX+bY+c) （X⊥Y）
0–1 Bern(p)\text{Bern}(p) X⊥Y ap+bq+cap+bq+c a2p(1−p)+b2q(1−q)a^2p(1-p)+b^2q(1-q)
二项 Bin(n,p)\text{Bin}(n,p) X⊥Y anp+bmq+ca np+b m q+c a2np(1−p)+b2mq(1−q)a^2 np(1-p)+b^2 m q(1-q)
泊松 Pois(λ)\text{Pois}(\lambda) X⊥Y aλ+bμ+ca\lambda+b\mu+c a2λ+b2μa^2\lambda+b^2\mu
几何 Geom(p)\text{Geom}(p) X⊥Y ap+br+c\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{r}+c a21−pp2+b21−rr2a^2\dfrac{1-p}{p^2}+b^2\dfrac{1-r}{r^2}
均匀 U(a,b)U(a,b) X⊥Y aa+b2+bc+d2+ca\dfrac{a+b}{2}+b\dfrac{c+d}{2}+c a2(b−a)212+b2(d−c)212a^2\dfrac{(b-a)^2}{12}+b^2\dfrac{(d-c)^2}{12}
指数 Exp(λ)\text{Exp}(\lambda) X⊥Y aλ+bμ+c\dfrac{a}{\lambda}+\dfrac{b}{\mu}+c a2λ2+b2μ2\dfrac{a^2}{\lambda^2}+\dfrac{b^2}{\mu^2}
正态 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) X⊥Y aμ+bν+ca\mu+b\nu+c a2σ2+b2τ2a^2\sigma^2+b^2\tau^2

2.2 分布函数与标准化

  • 分布函数：F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \le x)
  • 正态标准化：Z=X−μσ∼N(0,1)Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)

3 多维随机变量及其分布

3.1 联合→边缘→条件→独立

情形 判据
离散 pij=pi⋅ p⋅jp_{ij} = p_{i\cdot}\,p_{\cdot j}
连续 f(x,y)=fX(x) fY(y)f(x,y) = f_X(x)\,f_Y(y)
一般 F(x,y)=FX(x) FY(y)F(x,y) = F_X(x)\,F_Y(y)

4 数字特征

概念 公式
期望线性 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)
方差定义 Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
协方差 Cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
相关系数 ρXY=Cov⁡(X,Y)Var⁡(X)Var⁡(Y)\rho_{XY} = \dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}
切比雪夫 P(∣X−E(X)∣≥ε)≤Var⁡(X)ε2P(|X - E(X)| \ge \varepsilon) \le \dfrac{\operatorname{Var}(X)}{\varepsilon^2}
弱大数 P ⁣(∣1n∑i=1nXi−μ∣≥ε)→0,  n→∞P\!\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \mu\right| \ge \varepsilon\right) \to 0,\; n\to\infty
中心极限 ∑i=1nXi−nμσn→dN(0,1)\dfrac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)

协方差定义拆解

[ \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) ]

符号来源

  • E(XY)：随机变量 乘积的期望，即“平均意义上的 X·Y”。
    计算时必需回到 联合分布：
类型 公式
离散 E(XY)=∑i∑jxiyjpij,pij=P(X=xi,Y=yj)\displaystyle E(XY)=\sum_{i}\sum_{j} x_i y_j p_{ij},\quad p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)
连续 E(XY)=∬R2xy f(x,y) dx dy,f(x,y) 为联合密度\displaystyle E(XY)=\iint_{\mathbb{R}^2} x y\,f(x,y)\,dx\,dy,\quad f(x,y)\text{ 为联合密度}
  • E(X)E(Y)：各自期望的简单乘积。
  • 当 X⊥Y（独立）时，E(XY)=E(X)E(Y) ⇒ Cov=0。
编号 性质 公式
1 定义 Cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
2 对称 Cov⁡(X,Y)=Cov⁡(Y,X)\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)
3 自协方差 Cov⁡(X,X)=Var⁡(X)\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)
4 常数隔离 Cov⁡(a,X)=0(a 为常数)\operatorname{Cov}(a,X)=0\quad(a\text{ 为常数})
5 线性齐次 Cov⁡(aX,bY)=abCov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(aX,bY)=ab\operatorname{Cov}(X,Y)
6 线性平移 Cov⁡(X+a,Y+b)=Cov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(X+a,Y+b)=\operatorname{Cov}(X,Y)
7 加法展开 Cov⁡(X1+X2,Y)=Cov⁡(X1,Y)+Cov⁡(X2,Y)\operatorname{Cov}(X_1+X_2,Y)=\operatorname{Cov}(X_1,Y)+\operatorname{Cov}(X_2,Y)
8 双线性 Cov⁡ ⁣(∑aiXi,∑bjYj)=∑i,jaibjCov⁡(Xi,Yj)\operatorname{Cov}\!\bigl(\sum a_iX_i,\sum b_jY_j\bigr)=\sum_{i,j}a_ib_j\operatorname{Cov}(X_i,Y_j)
9 独立必不相关 X⊥Y⇒Cov⁡(X,Y)=0X\perp Y\Rightarrow\operatorname{Cov}(X,Y)=0
10 方差求和 Var⁡(X+Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)+2Cov⁡(X,Y)\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)
11 方差线性 Var⁡(aX+bY)=a2Var⁡(X)+b2Var⁡(Y)+2abCov⁡(X,Y)\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y)
12 Cauchy-Schwarz ∣Cov⁡(X,Y)∣≤Var⁡(X)Var⁡(Y)|\operatorname{Cov}(X,Y)|\le\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}
13 相关系数归一 ρXY=Cov⁡(X,Y)Var⁡(X)Var⁡(Y)∈[−1,1]\rho_{XY}=\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}\in[-1,1]
14 线性变换协方差阵 若 Z=AX\mathbf{Z}=\mathbf{A}\mathbf{X}，则 Cov⁡(Z)=ACov⁡(X)A⊤\operatorname{Cov}(\mathbf{Z})=\mathbf{A}\operatorname{Cov}(\mathbf{X})\mathbf{A}^{\top}

5 数理统计基础

5.1 样本数字特征

统计量 公式
样本均值 X‾=1n∑i=1nXi\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
样本方差 S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2

5.2 三大抽样分布

分布 构造 期望 方差
χ2(n)\chi^2(n) ∑i=1nZi2, Zi∼N(0,1)\sum_{i=1}^n Z_i^2,\, Z_i\sim N(0,1) nn 2n2n
t(n)t(n) ZU/n, Z∼N(0,1), U∼χ2(n)\dfrac{Z}{\sqrt{U/n}},\, Z\sim N(0,1),\, U\sim\chi^2(n) 0  (k>1)0\;(k>1) nn−2  (k>2)\dfrac{n}{n-2}\;(k>2)
F(m,n)F(m,n) U/mV/n, U∼χ2(m), V∼χ2(n)\dfrac{U/m}{V/n},\, U\sim\chi^2(m),\, V\sim\chi^2(n) nn−2  (n>2)\dfrac{n}{n-2}\;(n>2) 见原文

5.3 正态总体抽样定理

  • X‾∼N ⁣(μ,σ2n)\overline{X} \sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)
  • (n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
  • X‾−μS/n∼t(n−1)\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)

6 参数估计

6.1 估计方法

方法 要点
矩估计 用样本矩替换总体矩：E(Xk)=1n∑XikE(X^k) = \frac{1}{n}\sum X_i^k
最大似然 似然函数 L(θ)=∏f(Xi;θ)L(\theta) = \prod f(X_i;\theta)，解 ∂ln⁡L∂θ=0\frac{\partial \ln L}{\partial\theta} = 0

6.2 估计量评价

准则 定义
无偏 E(θ^)=θE(\hat\theta) = \theta
有效 方差最小
一致 θ^→Pθ  (n→∞)\hat\theta \xrightarrow{P} \theta\;(n\to\infty)

6.3 正态总体置信区间

待估参数 条件 置信区间
均值 σ2\sigma^2已知 X‾±zα/2σn\overline{X} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
均值 σ2\sigma^2未知 X‾±tα/2(n−1)Sn\overline{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}
方差 μ\mu未知 ((n−1)S2χα/22(n−1),  (n−1)S2χ1−α/22(n−1))\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\; \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)

7 假设检验

7.1 步骤

  1. 假设 H0↔H1H_0 \leftrightarrow H_1
  2. 选统计量
  3. 计算观测值
  4. 定拒绝域（显著性水平 α\alpha）
  5. 决策

7.2 常用检验统计量

名称 统计量 分布
Z 检验 Z=X‾−μ0σ/nZ = \frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} N(0,1)N(0,1)
t 检验 t=X‾−μ0S/nt = \frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} t(n−1)t(n-1)
χ2\chi^2 方差检验 χ2=(n−1)S2σ02\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} χ2(n−1)\chi^2(n-1)

7.3 两类错误

  • 第一类：拒绝真 H0H_0，概率 α\alpha
  • 第二类：接受假 H0H_0，概率 β\beta

增补：常用分布速查表（公式大全）

分布 记号 参数 PMF/PDF 期望 方差 MGF 无记忆/可加 常用分位点
0-1 Bern(p)\text{Bern}(p) 0<p<10<p<1 px(1−p)1−x, x∈{0,1}p^x(1-p)^{1-x},\, x\in\{0,1\} pp p(1−p)p(1-p) 1−p+pet1-p+pe^t — —
二项 Bin(n,p)\text{Bin}(n,p) n≥1, 0<p<1n\ge 1,\, 0<p<1 (nx)px(1−p)n−x\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} npnp np(1−p)np(1-p) (1−p+pet)n(1-p+pe^t)^n 可加 —
泊松 Pois(λ)\text{Pois}(\lambda) λ>0\lambda>0 e−λλxx!\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} λ\lambda λ\lambda exp⁡[λ(et−1)]\exp[\lambda(e^t-1)] 可加 —
几何 Geom(p)\text{Geom}(p) 0<p<10<p<1 p(1−p)x−1, x=1,2,…p(1-p)^{x-1},\, x=1,2,\dots 1p\frac{1}{p} 1−pp2\frac{1-p}{p^2} pet1−(1−p)et\frac{pe^t}{1-(1-p)e^t} 无记忆 —
超几何 HG(N,K,n)\text{HG}(N,K,n) N,K,n∈NN,K,n\in\mathbb N (Kx)(N−Kn−x)(Nn)\frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}} nKN\frac{nK}{N} nK(N−K)(N−n)N2(N−1)\frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} — — —
负二项 NB(r,p)\text{NB}(r,p) r≥1, 0<p<1r\ge 1,\, 0<p<1 (x−1r−1)pr(1−p)x−r\binom{x-1}{r-1}p^r(1-p)^{x-r} rp\frac{r}{p} r(1−p)p2\frac{r(1-p)}{p^2} (pet1−(1−p)et)r\left(\frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}\right)^r 可加 —
均匀 U(a,b)U(a,b) a<ba<b 1b−a, a<x<b\frac{1}{b-a},\, a<x<b a+b2\frac{a+b}{2} (b−a)212\frac{(b-a)^2}{12} etb−eta(b−a)t\frac{e^{tb}-e^{ta}}{(b-a)t} — —
指数 Exp(λ)\text{Exp}(\lambda) λ>0\lambda>0 λe−λx, x>0\lambda e^{-\lambda x},\, x>0 1λ\frac{1}{\lambda} 1λ2\frac{1}{\lambda^2} λλ−t, t<λ\frac{\lambda}{\lambda-t},\, t<\lambda 无记忆 —
正态 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) μ∈R, σ>0\mu\in\mathbb R,\, \sigma>0 12πσexp⁡[−(x−μ)22σ2]\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}] μ\mu σ2\sigma^2 exp⁡[μt+12σ2t2]\exp[\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2] 可加 z0.975=1.96z_{0.975}=1.96
伽马 Γ(k,θ)\Gamma(k,\theta) k>0, θ>0k>0,\, \theta>0 xk−1e−x/θΓ(k)θk, x>0\frac{x^{k-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\theta^k},\, x>0 kθk\theta kθ2k\theta^2 (1−θt)−k, t<1/θ(1-\theta t)^{-k},\, t<1/\theta 可加 —
贝塔 Beta(α,β)\text{Beta}(\alpha,\beta) α>0, β>0\alpha>0,\, \beta>0 xα−1(1−x)β−1B(α,β), 0<x<1\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\mathrm B(\alpha,\beta)},\, 0<x<1 αα+β\frac{\alpha}{\alpha+\beta} αβ(α+β)2(α+β+1)\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} — — —
卡方 χ2(k)\chi^2(k) k∈Nk\in\mathbb N xk/2−1e−x/22k/2Γ(k/2), x>0\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma(k/2)},\, x>0 kk 2k2k (1−2t)−k/2, t<1/2(1-2t)^{-k/2},\, t<1/2 可加 χ0.952(10)=18.31\chi^2_{0.95}(10)=18.31
t 分布 t(k)t(k) k∈Nk\in\mathbb N Γ(k+12)kπ Γ(k2)(1+x2k)−k+12\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\sqrt{k\pi}\,\Gamma(\frac{k}{2})}(1+\frac{x^2}{k})^{-\frac{k+1}{2}} 0  (k>1)0\;(k>1) kk−2  (k>2)\frac{k}{k-2}\;(k>2) — — t0.975(10)=2.228t_{0.975}(10)=2.228
F 分布 F(d1,d2)F(d_1,d_2) d1,d2∈Nd_1,d_2\in\mathbb N （略） d2d2−2  (d2>2)\frac{d_2}{d_2-2}\;(d_2>2) 2d22(d1+d2−2)d1(d2−2)2(d2−4)  (d2>4)\frac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)}\;(d_2>4) — — F0.95(5,10)=3.33F_{0.95}(5,10)=3.33

样本均值定理

总体分布 记号 样本均值 X‾\overline X 的精确/渐近分布 备注
0–1 Bern(p)\text{Bern}(p) X‾=Sn,  S∼Bin(n,p)\overline X = \dfrac{S}{n},\; S\sim\text{Bin}(n,p) 精确：nX‾∼Bin(n,p)n\overline X\sim\text{Bin}(n,p)
二项 Bin(m,p)\text{Bin}(m,p) X‾=Sn,  S∼Bin(nm,p)\overline X = \dfrac{S}{n},\; S\sim\text{Bin}(nm,p) 精确：nX‾∼Bin(nm,p)n\overline X\sim\text{Bin}(nm,p)
泊松 Pois(λ)\text{Pois}(\lambda) nX‾∼Pois(nλ)n\overline X\sim\text{Pois}(n\lambda) 精确：nX‾n\overline X 仍为泊松
几何 Geom(p)\text{Geom}(p) nX‾∼NB(n,p)n\overline X\sim\text{NB}(n,p) 精确：nX‾n\overline X 为负二项
均匀 U(a,b)U(a,b) X‾∼N ⁣(a+b2,(b−a)212n)\overline X\sim\N\!\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{(b-a)^2}{12n}\right) 精确（正态总体定理）
指数 Exp(λ)\text{Exp}(\lambda) X‾∼Gamma(n,1nλ)\overline X\sim\text{Gamma}(n,\tfrac{1}{n\lambda}) 精确：nλX‾∼Γ(n,1)n\lambda\overline X\sim\Gamma(n,1)
正态 N(μ,σ2)\N(\mu,\sigma^2) X‾∼N ⁣(μ,σ2n)\overline X\sim\N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right) 精确（任意 nn）

附录公式（保持原样，仅补 \cap）

几何分布无记忆性

P(X>k+m∣X>k)=P(X>k+m)P(X>k)=(1−p)k+m(1−p)k=(1−p)m=P(X>m). P(X>k+m \mid X>k) = \frac{P(X>k+m)}{P(X>k)} = \frac{(1-p)^{k+m}}{(1-p)^k} = (1-p)^m = P(X>m).

指数分布无记忆性

P(X>s+t∣X>s)=e−λ(s+t)e−λs=e−λt=P(X>t). P(X>s+t \mid X>s) = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X>t).

正态 3σ 法则

P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=Φ(3)−Φ(−3)=2Φ(3)−1≈0.9973. P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) = \Phi(3) - \Phi(-3) = 2\Phi(3) - 1 \approx 0.9973.

χ²、t、F 分位点换算

  • t1−α/22(n)=F1−α(1,n)t^2_{1-\alpha/2}(n) = F_{1-\alpha}(1,n)
  • Z∼N(0,1)⇒Z2∼χ2(1)Z \sim N(0,1) \Rightarrow Z^2 \sim \chi^2(1)
  • 当 n→∞n\to\infty，t(n)→N(0,1)t(n)\to N(0,1)；χ2(n)≈N(n,2n)\chi^2(n)\approx N(n,2n)

伽马与贝塔函数

Γ(z)=∫0∞tz−1e−t dt,Γ(n+1)=n!  (n∈N). \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad \Gamma(n+1)=n!\;(n\in\mathbb N). B(a,b)=∫01ta−1(1−t)b−1 dt=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b). \mathrm B(a,b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.

矩、偏度、峰度

  • 原点矩：μk′=E[Xk]\mu_k' = E[X^k]
  • 中心矩：μk=E[(X−E[X])k]\mu_k = E[(X - E[X])^k]
  • 偏度：γ1=μ3/μ23/2\gamma_1 = \mu_3 / \mu_2^{3/2}
  • 峰度：γ2=μ4/μ22−3\gamma_2 = \mu_4 / \mu_2^2 - 3（超额峰度）

随机变量变换（一维）

若 Y=g(X)Y = g(X) 严格单调、可导，则

fY(y)=fX(g−1(y))∣ddyg−1(y)∣. f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.

随机变量和（卷积）

独立连续型 Z=X+YZ = X + Y：

fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x) dx. f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,dx.

例：X∼Γ(k1,θ), Y∼Γ(k2,θ)X\sim\Gamma(k_1,\theta),\,Y\sim\Gamma(k_2,\theta) 独立 ⇒Z∼Γ(k1+k2,θ)\Rightarrow Z\sim\Gamma(k_1+k_2,\theta).

大样本近似

  • 二项：n≥30, np≥5, n(1−p)≥5n\ge30,\,np\ge5,\,n(1-p)\ge5 时 p^≈N ⁣(p, p(1−p)n) \hat p \approx N\!\left(p,\,\frac{p(1-p)}{n}\right)
  • 泊松：λ≥15\lambda\ge15 时 Xˉ≈N ⁣(λ, λn) \bar X \approx N\!\left(\lambda,\,\frac{\lambda}{n}\right)

（完）