下面给出完整文件的「表格化重排版」：
- 所有知识点一字不删；
- 凡遇“事件同时发生”一律正规写作
A \cap B；
- 能用表格的尽量用三线表压缩，密度最大化；
- 直接复制即可在 GitHub / Typora / VS Code / Obsidian 等环境正常渲染。
《概率论与数理统计》期末复习知识点总结
理工类·简明版 —— 基于吴赣昌教材
目录
[TOC]
1 随机事件及其概率
| 名称 |
公式 |
| 加法 |
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ |
| 乘法 |
$P(A \cap B) = P(A)P(B |
| 全概率 |
$P(A) = \sum_i P(B_i)P(A |
| 贝叶斯 |
$P(B_k |
古典概型例题
将甲、乙、丙三人随机分配到 3 间房，求“每房恰 1 人”的概率。
样本点总数：$3^3 = 27$，有利事件数：$3! = 6$，
$$ P = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} $$
2 随机变量及其分布
2.1 常用分布一览
| 类型 |
记号 |
参数 |
PMF/PDF |
期望 |
方差 |
| 0–1 |
$\text{Bern}(p)$ |
$0<p<1$ |
$p^x(1-p)^{1-x},, x\in{0,1}$ |
$p$ |
$p(1-p)$ |
| 二项 |
$\text{Bin}(n,p)$ |
$n\ge 1,, 0<p<1$ |
$\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$ |
$np$ |
$np(1-p)$ |
| 泊松 |
$\text{Pois}(\lambda)$ |
$\lambda>0$ |
$\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$ |
$\lambda$ |
$\lambda$ |
| 几何 |
$\text{Geom}(p)$ |
$0<p<1$ |
$p(1-p)^{x-1},, x=1,2,\dots$ |
$\dfrac{1}{p}$ |
$\dfrac{1-p}{p^2}$ |
| 均匀 |
$U(a,b)$ |
$a<b$ |
$\dfrac{1}{b-a},, a<x<b$ |
$\dfrac{a+b}{2}$ |
$\dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
| 指数 |
$\text{Exp}(\lambda)$ |
$\lambda>0$ |
$\lambda e^{-\lambda x},, x>0$ |
$\dfrac{1}{\lambda}$ |
$\dfrac{1}{\lambda^2}$ |
| 正态 |
$N(\mu,\sigma^2)$ |
$\mu\in\mathbb R,, \sigma>0$ |
$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp[-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}]$ |
$\mu$ |
$\sigma^2$ |
| 分布 |
记号 |
独立条件 |
$E[aX+bY+c]$ |
$D(aX+bY+c)$ （X⊥Y） |
| 0–1 |
$\text{Bern}(p)$ |
X⊥Y |
$ap+bq+c$ |
$a^2p(1-p)+b^2q(1-q)$ |
| 二项 |
$\text{Bin}(n,p)$ |
X⊥Y |
$a np+b m q+c$ |
$a^2 np(1-p)+b^2 m q(1-q)$ |
| 泊松 |
$\text{Pois}(\lambda)$ |
X⊥Y |
$a\lambda+b\mu+c$ |
$a^2\lambda+b^2\mu$ |
| 几何 |
$\text{Geom}(p)$ |
X⊥Y |
$\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{r}+c$ |
$a^2\dfrac{1-p}{p^2}+b^2\dfrac{1-r}{r^2}$ |
| 均匀 |
$U(a,b)$ |
X⊥Y |
$a\dfrac{a+b}{2}+b\dfrac{c+d}{2}+c$ |
$a^2\dfrac{(b-a)^2}{12}+b^2\dfrac{(d-c)^2}{12}$ |
| 指数 |
$\text{Exp}(\lambda)$ |
X⊥Y |
$\dfrac{a}{\lambda}+\dfrac{b}{\mu}+c$ |
$\dfrac{a^2}{\lambda^2}+\dfrac{b^2}{\mu^2}$ |
| 正态 |
$N(\mu,\sigma^2)$ |
X⊥Y |
$a\mu+b\nu+c$ |
$a^2\sigma^2+b^2\tau^2$ |
2.2 分布函数与标准化
- 分布函数：$F(x) = P(X \le x)$
- 正态标准化：$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
3 多维随机变量及其分布
3.1 联合→边缘→条件→独立
| 情形 |
判据 |
| 离散 |
$p_{ij} = p_{i\cdot},p_{\cdot j}$ |
| 连续 |
$f(x,y) = f_X(x),f_Y(y)$ |
| 一般 |
$F(x,y) = F_X(x),F_Y(y)$ |
4 数字特征
| 概念 |
公式 |
| 期望线性 |
$E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)$ |
| 方差定义 |
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ |
| 协方差 |
$ \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) $ |
| 相关系数 |
$\rho_{XY} = \dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}$ |
| 切比雪夫 |
$P( |
| 弱大数 |
$P!\left(\left |
| 中心极限 |
$\dfrac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$ |
协方差定义拆解
[
\operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
]
符号来源
- E(XY)：随机变量 乘积的期望，即“平均意义上的 X·Y”。
计算时必需回到 联合分布：
| 类型 |
公式 |
| 离散 |
$$\displaystyle E(XY)=\sum_{i}\sum_{j} x_i y_j p_{ij},\quad p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)$$ |
| 连续 |
$$\displaystyle E(XY)=\iint_{\mathbb{R}^2} x y,f(x,y),dx,dy,\quad f(x,y)\text{ 为联合密度}$$ |
- E(X)E(Y)：各自期望的简单乘积。
- 当 X⊥Y（独立）时，E(XY)=E(X)E(Y) ⇒ Cov=0。
| 编号 |
性质 |
公式 |
| 1 |
定义 |
$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ |
| 2 |
对称 |
$\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)$ |
| 3 |
自协方差 |
$\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)$ |
| 4 |
常数隔离 |
$\operatorname{Cov}(a,X)=0\quad(a\text{ 为常数})$ |
| 5 |
线性齐次 |
$\operatorname{Cov}(aX,bY)=ab\operatorname{Cov}(X,Y)$ |
| 6 |
线性平移 |
$\operatorname{Cov}(X+a,Y+b)=\operatorname{Cov}(X,Y)$ |
| 7 |
加法展开 |
$\operatorname{Cov}(X_1+X_2,Y)=\operatorname{Cov}(X_1,Y)+\operatorname{Cov}(X_2,Y)$ |
| 8 |
双线性 |
$\operatorname{Cov}!\bigl(\sum a_iX_i,\sum b_jY_j\bigr)=\sum_{i,j}a_ib_j\operatorname{Cov}(X_i,Y_j)$ |
| 9 |
独立必不相关 |
$X\perp Y\Rightarrow\operatorname{Cov}(X,Y)=0$ |
| 10 |
方差求和 |
$\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$ |
| 11 |
方差线性 |
$\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y)$ |
| 12 |
Cauchy-Schwarz |
$ |
| 13 |
相关系数归一 |
$\rho_{XY}=\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}\in[-1,1]$ |
| 14 |
线性变换协方差阵 |
若 $\mathbf{Z}=\mathbf{A}\mathbf{X}$，则 $\operatorname{Cov}(\mathbf{Z})=\mathbf{A}\operatorname{Cov}(\mathbf{X})\mathbf{A}^{\top}$ |
5 数理统计基础
5.1 样本数字特征
| 统计量 |
公式 |
| 样本均值 |
$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ |
| 样本方差 |
$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ |
5.2 三大抽样分布
| 分布 |
构造 |
期望 |
方差 |
| $\chi^2(n)$ |
$\sum_{i=1}^n Z_i^2,, Z_i\sim N(0,1)$ |
$n$ |
$2n$ |
| $t(n)$ |
$\dfrac{Z}{\sqrt{U/n}},, Z\sim N(0,1),, U\sim\chi^2(n)$ |
$0;(k>1)$ |
$\dfrac{n}{n-2};(k>2)$ |
| $F(m,n)$ |
$\dfrac{U/m}{V/n},, U\sim\chi^2(m),, V\sim\chi^2(n)$ |
$\dfrac{n}{n-2};(n>2)$ |
见原文 |
5.3 正态总体抽样定理
- $\overline{X} \sim N!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$
- $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
- $\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$
6 参数估计
6.1 估计方法
| 方法 |
要点 |
| 矩估计 |
用样本矩替换总体矩：$E(X^k) = \frac{1}{n}\sum X_i^k$ |
| 最大似然 |
似然函数 $L(\theta) = \prod f(X_i;\theta)$，解 $\frac{\partial \ln L}{\partial\theta} = 0$ |
6.2 估计量评价
| 准则 |
定义 |
| 无偏 |
$E(\hat\theta) = \theta$ |
| 有效 |
方差最小 |
| 一致 |
$\hat\theta \xrightarrow{P} \theta;(n\to\infty)$ |
6.3 正态总体置信区间
| 待估参数 |
条件 |
置信区间 |
| 均值 |
$\sigma^2$已知 |
$\overline{X} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ |
| 均值 |
$\sigma^2$未知 |
$\overline{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$ |
| 方差 |
$\mu$未知 |
$\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},; \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)$ |
7 假设检验
7.1 步骤
- 假设 $H_0 \leftrightarrow H_1$
- 选统计量
- 计算观测值
- 定拒绝域（显著性水平 $\alpha$）
- 决策
7.2 常用检验统计量
| 名称 |
统计量 |
分布 |
| Z 检验 |
$Z = \frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ |
$N(0,1)$ |
| t 检验 |
$t = \frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$ |
$t(n-1)$ |
| $\chi^2$ 方差检验 |
$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$ |
$\chi^2(n-1)$ |
7.3 两类错误
- 第一类：拒绝真 $H_0$，概率 $\alpha$
- 第二类：接受假 $H_0$，概率 $\beta$
增补：常用分布速查表（公式大全）
| 分布 |
记号 |
参数 |
PMF/PDF |
期望 |
方差 |
MGF |
无记忆/可加 |
常用分位点 |
| 0-1 |
$\text{Bern}(p)$ |
$0<p<1$ |
$p^x(1-p)^{1-x},, x\in{0,1}$ |
$p$ |
$p(1-p)$ |
$1-p+pe^t$ |
— |
— |
| 二项 |
$\text{Bin}(n,p)$ |
$n\ge 1,, 0<p<1$ |
$\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$ |
$np$ |
$np(1-p)$ |
$(1-p+pe^t)^n$ |
可加 |
— |
| 泊松 |
$\text{Pois}(\lambda)$ |
$\lambda>0$ |
$\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$ |
$\lambda$ |
$\lambda$ |
$\exp[\lambda(e^t-1)]$ |
可加 |
— |
| 几何 |
$\text{Geom}(p)$ |
$0<p<1$ |
$p(1-p)^{x-1},, x=1,2,\dots$ |
$\frac{1}{p}$ |
$\frac{1-p}{p^2}$ |
$\frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}$ |
无记忆 |
— |
| 超几何 |
$\text{HG}(N,K,n)$ |
$N,K,n\in\mathbb N$ |
$\frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ |
$\frac{nK}{N}$ |
$\frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)}$ |
— |
— |
— |
| 负二项 |
$\text{NB}(r,p)$ |
$r\ge 1,, 0<p<1$ |
$\binom{x-1}{r-1}p^r(1-p)^{x-r}$ |
$\frac{r}{p}$ |
$\frac{r(1-p)}{p^2}$ |
$\left(\frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}\right)^r$ |
可加 |
— |
| 均匀 |
$U(a,b)$ |
$a<b$ |
$\frac{1}{b-a},, a<x<b$ |
$\frac{a+b}{2}$ |
$\frac{(b-a)^2}{12}$ |
$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{(b-a)t}$ |
— |
— |
| 指数 |
$\text{Exp}(\lambda)$ |
$\lambda>0$ |
$\lambda e^{-\lambda x},, x>0$ |
$\frac{1}{\lambda}$ |
$\frac{1}{\lambda^2}$ |
$\frac{\lambda}{\lambda-t},, t<\lambda$ |
无记忆 |
— |
| 正态 |
$N(\mu,\sigma^2)$ |
$\mu\in\mathbb R,, \sigma>0$ |
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}]$ |
$\mu$ |
$\sigma^2$ |
$\exp[\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2]$ |
可加 |
$z_{0.975}=1.96$ |
| 伽马 |
$\Gamma(k,\theta)$ |
$k>0,, \theta>0$ |
$\frac{x^{k-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\theta^k},, x>0$ |
$k\theta$ |
$k\theta^2$ |
$(1-\theta t)^{-k},, t<1/\theta$ |
可加 |
— |
| 贝塔 |
$\text{Beta}(\alpha,\beta)$ |
$\alpha>0,, \beta>0$ |
$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\mathrm B(\alpha,\beta)},, 0<x<1$ |
$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ |
$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ |
— |
— |
— |
| 卡方 |
$\chi^2(k)$ |
$k\in\mathbb N$ |
$\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma(k/2)},, x>0$ |
$k$ |
$2k$ |
$(1-2t)^{-k/2},, t<1/2$ |
可加 |
$\chi^2_{0.95}(10)=18.31$ |
| t 分布 |
$t(k)$ |
$k\in\mathbb N$ |
$\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\sqrt{k\pi},\Gamma(\frac{k}{2})}(1+\frac{x^2}{k})^{-\frac{k+1}{2}}$ |
$0;(k>1)$ |
$\frac{k}{k-2};(k>2)$ |
— |
— |
$t_{0.975}(10)=2.228$ |
| F 分布 |
$F(d_1,d_2)$ |
$d_1,d_2\in\mathbb N$ |
（略） |
$\frac{d_2}{d_2-2};(d_2>2)$ |
$\frac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)};(d_2>4)$ |
— |
— |
$F_{0.95}(5,10)=3.33$ |
样本均值定理
| 总体分布 |
记号 |
样本均值 $\overline X$ 的精确/渐近分布 |
备注 |
| 0–1 |
$\text{Bern}(p)$ |
$\overline X = \dfrac{S}{n},; S\sim\text{Bin}(n,p)$ |
精确：$n\overline X\sim\text{Bin}(n,p)$ |
| 二项 |
$\text{Bin}(m,p)$ |
$\overline X = \dfrac{S}{n},; S\sim\text{Bin}(nm,p)$ |
精确：$n\overline X\sim\text{Bin}(nm,p)$ |
| 泊松 |
$\text{Pois}(\lambda)$ |
$n\overline X\sim\text{Pois}(n\lambda)$ |
精确：$n\overline X$ 仍为泊松 |
| 几何 |
$\text{Geom}(p)$ |
$n\overline X\sim\text{NB}(n,p)$ |
精确：$n\overline X$ 为负二项 |
| 均匀 |
$U(a,b)$ |
$\overline X\sim\N!\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{(b-a)^2}{12n}\right)$ |
精确（正态总体定理） |
| 指数 |
$\text{Exp}(\lambda)$ |
$\overline X\sim\text{Gamma}(n,\tfrac{1}{n\lambda})$ |
精确：$n\lambda\overline X\sim\Gamma(n,1)$ |
| 正态 |
$\N(\mu,\sigma^2)$ |
$\overline X\sim\N!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ |
精确（任意 $n$） |
附录公式（保持原样，仅补 \cap）
几何分布无记忆性
$$ P(X>k+m \mid X>k) = \frac{P(X>k+m)}{P(X>k)} = \frac{(1-p)^{k+m}}{(1-p)^k} = (1-p)^m = P(X>m). $$
指数分布无记忆性
$$ P(X>s+t \mid X>s) = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X>t). $$
正态 3σ 法则
$$ P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) = \Phi(3) - \Phi(-3) = 2\Phi(3) - 1 \approx 0.9973. $$
χ²、t、F 分位点换算
- $t^2_{1-\alpha/2}(n) = F_{1-\alpha}(1,n)$
- $Z \sim N(0,1) \Rightarrow Z^2 \sim \chi^2(1)$
- 当 $n\to\infty$，$t(n)\to N(0,1)$；$\chi^2(n)\approx N(n,2n)$
伽马与贝塔函数
$$ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t},dt,\quad \Gamma(n+1)=n!;(n\in\mathbb N). $$
$$ \mathrm B(a,b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1},dt = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}. $$
矩、偏度、峰度
- 原点矩：$\mu_k’ = E[X^k]$
- 中心矩：$\mu_k = E[(X - E[X])^k]$
- 偏度：$\gamma_1 = \mu_3 / \mu_2^{3/2}$
- 峰度：$\gamma_2 = \mu_4 / \mu_2^2 - 3$（超额峰度）
随机变量变换（一维）
若 $Y = g(X)$ 严格单调、可导，则
$$ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|. $$
随机变量和（卷积）
独立连续型 $Z = X + Y$：
$$ f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x),dx. $$
例：$X\sim\Gamma(k_1,\theta),,Y\sim\Gamma(k_2,\theta)$ 独立 $\Rightarrow Z\sim\Gamma(k_1+k_2,\theta)$.
大样本近似
- 二项：$n\ge30,,np\ge5,,n(1-p)\ge5$ 时
$$ \hat p \approx N!\left(p,,\frac{p(1-p)}{n}\right) $$
- 泊松：$\lambda\ge15$ 时
$$ \bar X \approx N!\left(\lambda,,\frac{\lambda}{n}\right) $$
（完）