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MoeFocalors' Blog

工程力学复习

第八章 轴向拉伸与压缩

8.1 轴向拉压强度

σ=FNA≤[σ] \sigma = \frac{F_{\rm N}}{A} \leq [\sigma]

8.2 轴向拉压变形

Δl=FNlEA \Delta l = \frac{F_{\rm N} l}{E A}

8.3 连接件强度计算

8.3.1 剪切强度

τ=FsA≤[τ] \tau = \frac{F_{\rm s}}{A} \leq [\tau]

8.3.2 挤压强度

σbs=FAbs≤[σbs] \sigma_{\rm bs} = \frac{F}{A_{\rm bs}} \leq [\sigma_{\rm bs}]

第九章 扭转

9.1 外力偶矩计算

Me=9549P (kW)n (r/min)N⋅m M_{\rm e} = 9549 \frac{P\ ({\rm kW})}{n\ ({\rm r/min})}\quad {\rm N\cdot m}

9.2 圆轴扭转切应力与强度条件

极惯性矩与抗扭截面系数：

实心圆截面

Ip=πD432,Wt=πD316 I_{\rm p} = \frac{\pi D^4}{32},\quad W_{\rm t} = \frac{\pi D^3}{16}

空心圆截面

Ip=πD432(1−α4),Wt=πD316(1−α4)(α=dD) I_{\rm p} = \frac{\pi D^4}{32}(1-\alpha^4),\quad W_{\rm t} = \frac{\pi D^3}{16}(1-\alpha^4) \hspace{2em} (\alpha = \frac{d}{D})

第十章 弯曲内力

10.1 剪力、弯矩与分布载荷的微分关系

dFsdx=q(x),dMdx=Fs,d2Mdx2=q(x) \frac{ {\rm d}F_{\rm s}}{ {\rm d}x}= q(x),\quad \frac{ {\rm d}M}{ {\rm d}x}= F_{\rm s},\quad \frac{ {\rm d}^2M}{ {\rm d}x^2}= q(x)
作图要点
  1. 有集中力F作用处，剪力图在该处有突变值F，突变 方向和集中力F一致；
  2. 第二点的剪力等于第一点的剪力加上均布载荷在这 两点之间所围成的面积；
  3. 有顺时针力偶Me作用处，弯矩图在该处递增Me；
  4. 第二点的弯矩等于第一点的弯矩加上剪力在这两点 之间所围成的面积；
  5. 有向下q作用的地方，弯矩图是开口向下的抛物线；
  6. 剪力为零的地方，弯矩图上有极值点。

第十一章 弯曲应力

11.1 对称弯曲正应力

σmax=MmaxWz≤[σ] \sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_z}\leq[\sigma]
梁弯曲正应力强度条件（抗拉压强度不等的材料）
负弯矩截面（M(-)）

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  1. 拉应力控制

    σtmax⁡=Mmax⁡ y1Iz≤[σt] \sigma_{t\max} = \frac{M_{\max}\,y_{1}}{I_z} \le [\sigma_t]

  2. 压应力控制

    σcmax⁡=Mmax⁡ y2Iz≤[σc] \sigma_{c\max} = \frac{M_{\max}\,y_{2}}{I_z} \le [\sigma_c]

其中

  • ytmax⁡y_{t\max}、ycmax⁡y_{c\max} 分别为截面受拉、受压边缘到中性轴的距离；
  • [σt][\sigma_t]、[σc][\sigma_c] 分别为材料许用拉、压应力；
  • IzI_z 为截面绕中性轴的惯性矩。
正弯矩截面（M(+)）

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  1. 拉应力控制

    σtmax⁡=Mmax⁡ y2Iz≤[σt] \sigma_{t\max} = \frac{M_{\max}\,y_{2}}{I_z} \le [\sigma_t]

  2. 压应力控制

    σcmax⁡=Mmax⁡ y1Iz≤[σc] \sigma_{c\max} = \frac{M_{\max}\,y_{1}}{I_z} \le [\sigma_c]

11.2 常用截面惯性矩与抗弯截面系数

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矩形（宽bb高hh）

Iz=bh312,Wz=bh26 I_z = \frac{b h^3}{12},\quad W_z = \frac{b h^2}{6}

实心圆（直径dd）

Iz=πD464,Wz=πD332 I_z = \frac{\pi D^4}{64},\quad W_z = \frac{\pi D^3}{32}

空心圆（外径DD，内径dd，α=d/D\alpha = d/D）

Iz=πD464(1−α4),Wz=πD332(1−α4)(α=dD) I_z = \frac{\pi D^4}{64}(1-\alpha^4),\quad W_z = \frac{\pi D^3}{32}(1-\alpha^4) \hspace{2em} (\alpha = \frac{d}{D})

11.3 平行轴定理

Iz=Izc+a2A I_z = I_{z_{\rm c}} + a^2 A

11.4 弯曲正应力强度条件

σmax⁡=Mmax⁡Wz≤[σ] \sigma_{\max} = \frac{M_{\max}}{W_z} \leq [\sigma]

第十三章 应力状态分析

13.1 斜截面应力公式

正应力

σα=σx+σy2+σx−σy2cos⁡2α−τxysin⁡2α \sigma_\alpha = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\alpha - \tau_{xy}\sin 2\alpha

切应力

τα=σx−σy2sin⁡2α+τxycos⁡2α \tau_\alpha = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\alpha + \tau_{xy}\cos 2\alpha

13.2 主方向与主应力

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主平面，取正负锐角

tan⁡2α0=−2τxyσx−σy \tan 2\alpha_0 = -\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}

其中

σx>σy,∣α0∣min⁡→σmax⁡ \sigma_x>\sigma_y , |\alpha_0|_{\min} → \sigma_{\max} σx<σy,,∣α0∣min⁡→σmin⁡ \sigma_x<\sigma_y,, |\alpha_0|_{\min} → \sigma_{\min}

最大切应力

τmax⁡=σ1−σ32 \tau_{\max} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}

第十四章 复杂应力状态强度问题

弯扭组合变形分析步骤：

  1. 受力分析与计算简图；
  2. 内力分析，画出弯矩图和扭矩图；找出危险面；
  3. 强度计算。

第三强度理论（最大切应力理论）

σr3=M2+T2W≤[σ] \sigma_{r3} = \frac{\sqrt{M^2 + T^2}}{W} \leq [\sigma]

第四强度理论（形状改变比能理论）

σr4=M2+0.75T2W≤[σ] \sigma_{r4} = \frac{\sqrt{M^2 + 0.75T^2}}{W} \leq [\sigma]
抗弯截面系数

实心圆

ω=πd332 \omega = \frac{\pi{d^3}}{32}

空心圆

ω=πD332(1−α4),(α=dD) \omega = \frac{\pi{D^3}}{32}(1-\alpha^4), \hspace{2em} (\alpha = \frac{d}{D})